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Oct 11, 2023

Un étudiant vient de résoudre un problème mathématique notoirement impossible

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Un mathématicien vient peut-être de prouver que l'impossible est possible.

Pendant 30 ans, les mathématiciens se sont demandé si vous pouviez avoir un ensemble infini de nombres où chaque paire de nombres s'ajoute à une valeur unique, et que ces valeurs soient chacune assez grandes.

En mars, un étudiant diplômé de l'Université d'Oxford a finalement résolu le problème en se tournant vers une solution improbable : la géométrie.

En 1993, le mathématicien hongrois Paul Erdős - l'un des mathématiciens les plus prolifiques du XXe siècle - a posé une question avec deux composants apparemment en contradiction l'un avec l'autre : un ensemble de Sidon pourrait-il être une "base asymptotique d'ordre trois ?"

Expliquons-nous.

Nommés d'après un autre mathématicien hongrois, Simon Sidon, ces ensembles sont essentiellement une collection de nombres où deux nombres dans l'ensemble ne totalisent pas le même nombre entier. Par exemple, dans l'ensemble simple de Sidon (1, 3, 5, 11), lorsque l'un des deux nombres de l'ensemble est additionné, il est égal à un nombre unique. Construire un ensemble Sidon avec seulement quatre nombres est extrêmement facile, mais à mesure que l'ensemble augmente en taille, cela devient de plus en plus difficile. Dès que deux sommes sont égales, la collection de nombres n'est plus considérée comme un ensemble de Sidon.

Le deuxième élément du problème d'Erdős - cette partie effrayante de la "base asymptotique d'ordre trois" - signifie que :

un ensemble doit être infiniment grand

tout entier suffisamment grand peut être écrit à la suite de l'addition d'au plus 3 nombres dans l'ensemble.

Ainsi, cette énigme de 30 ans s'est concentrée sur la question de savoir si ces deux éléments pouvaient ou non exister dans le même ensemble de nombres. Pendant des décennies, la réponse a semblé être non.

Mais en mars de cette année, l'étudiant diplômé d'Oxford Cédric Pilatte a publié une preuve confirmant l'existence d'un tel ensemble de Sidon. Atteindre ce cap n'a pas été facile. En 2010, des mathématiciens ont prouvé qu'un ensemble de Sidon pouvait être une base asymptotique d'ordre 5, et trois ans plus tard, ils ont prouvé qu'il était également possible qu'un ensemble de Sidon « soit une base asymptotique d'ordre 4 ». Mais "l'ordre 3" restait insaisissable - certains le considéraient théoriquement possible mais incroyablement difficile (et potentiellement impossible) à prouver.

"Ils tirent dans des directions opposées", a déclaré Pilatte à Quanta Magazine. "Les ensembles de Sidon sont contraints d'être petits, et une base asymptotique est contrainte d'être grande. Il n'était pas évident que cela puisse fonctionner."

Alors, comment Pilatte a-t-il obtenu une cheville mathématiquement carrée pour s'adapter à un trou apparemment rond ? Il a adopté une approche non conventionnelle et s'est tourné vers la géométrie plutôt que la méthode probabiliste défendue par Erdős et ce qu'on appelle la théorie additive des nombres. Pilatte a remplacé les nombres par des polynômes et s'est appuyé sur les travaux récents des mathématiciens de l'Université de Columbia. En combinant ces idées, Pilatte a réussi à créer un ensemble de Sidon suffisamment dense et suffisamment aléatoire pour finalement résoudre le problème initial d'Erdős.

Le travail de Pilatte s'est appuyé sur les découvertes de nombreux mathématiciens dans différentes disciplines, et a même combiné des domaines mathématiques apparemment sans rapport pour répondre à la question. "C'est cool que ces techniques très profondes de la géométrie algébrique puissent également être utilisées pour cette question simple et concrète sur les ensembles de nombres", a déclaré Pilatte à Quanta Magazine.

Et avec cela, une autre question mathématique "impossible" s'avère tout à fait possible.

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